№ 2(9) / ноябрь

Популярно о науке

От воздушного змея к задаче Максвелла

В Лаборатории нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения регулярно проводятся семинары, а также конференции и симпозиумы всероссийского и международного уровня. В ходе данных встреч докладываются наиболее важные научные результаты, обсуждаются задачи и проблемы университетского мегагранта. За два года сотрудниками лаборатории написано более 100 научных статей. В связи с этим в редакции журнала «Научное обозрение» появилась идея о создании специальной рубрики «Популярно о науке», в которой планируется излагать наиболее интересные результаты доступным, популярным языком. Открывает нашу новую рубрику статья ведущего научного сотрудника сектора динамики вихревых структур, д.ф.-м.н., профессора ИжГТУ Тененева Валентина Алексеевича.

С детства многим знакомо явление — летающие, наподобие маленьких вертолетиков, семена клена или ясеня. Вращающееся семечко, имеющее форму крыла и называемое крылаткой, способно улететь очень далеко от самого дерева. Затем мы знакомимся с термином «авторотация» применительно к режиму снижения вертолета с неработающим двигателем и свободно вращающимся винтом. Общим для семечек клена и винтов вертолетов является возникновение подъемной силы при вращении, которая и поддерживает их в воздухе. Явление авторотации не прошло мимо внимания выдающегося ученого 19-го века Дж. К. Максвелла. Описание процесса падения листка бумаги, конечно, несоизмеримо по масштабу с его трудами в области электромагнетизма и кинетической теории газов, но задача о падении тел в сопротивляющейся среде имеет название задачи Максвелла до сих пор. Интерес к этой задаче не ослабел, а только усилился.

Любой может взять полоску плотной бумаги 7.5×1.5 см и убедиться, что отпущенный листок либо совершает колебания и опускается почти вертикально, либо переходит в режим вращения и далеко удаляется от точки сбрасывания. Максвелл дает качественное описание процесса поддержания вращения листка силами давления [Draft of Paper on the descent of a Body in a resisting Medium, 13 august 1852. The scientific letters and papers of James Clerk Maxwell / Edited by P.M. Harman. Cambridge University Press, 1990, pp. 213–215.].

Рис. 1. Течение около движущейся поступательно пластины под улом 20 градусов

Рис. 1. Течение около движущейся поступательно пластины под улом 20 градусов

Рис. 2. Контуры с рассчитанной циркуляцией. Также показан профиль изменения циркуляции  от контура к контуру

Рис. 2. Контуры с рассчитанной циркуляцией. Также показан профиль изменения циркуляции от контура к контуру

Рис. 3. Колебательные движения листка, отпущенного под небольшим углом

Рис. 3. Колебательные движения листка, отпущенного под небольшим углом

Рис. 4. Поле скоростей течения около пластины, падающей в режиме вращения

Рис. 4. Поле скоростей течения около пластины, падающей в режиме вращения

Рис. 5. Вращательное движение листка, отпущенного под углом 60 градусов

Рис. 5. Вращательное движение листка, отпущенного под углом 60 градусов

Рис. 6. Изменение относительной координаты точки приложения силы  сопротивления во времени. Координата отнесена к полуширине пластины.  Выделены режимы колебания, вращения и переходный

Рис. 6. Изменение относительной координаты точки приложения силы сопротивления во времени. Координата отнесена к полуширине пластины. Выделены режимы колебания, вращения и переходный

Рис. 7. Положение относительной координаты точки приложения  силы сопротивления для пластины, движущейся под углом 20 градусов

Рис. 7. Положение относительной координаты точки приложения силы сопротивления для пластины, движущейся под углом 20 градусов

Интерес к задаче Максвелла поддерживается, в частности, тем, что физика процессов при машущем полете и падении тонких пластин имеет много общего. Более того, применение квазистационарного подхода не объясняет специфики полета насекомых, и, «согласно классической теории, шмель не может летать».

Рассмотрим на первый взгляд близкий к падению бумаги и знакомый тоже с детства полет воздушного змея. Бумажная пластина, раскрепленная для жесткости планками, крепится к веревочке и взмывает в воздух, если быстро бежать. Можно не бегать и стоять на месте, но в этом случае для подъема змея нужен ветер. Аэродинамика этого явления хорошо изучена и описывается формулой Кутта–Жуковского, использующей понятие циркуляции скорости (интеграла от скорости окружающего потока по замкнутому контуру). Для пластины циркуляция равна Г = – 2paV sin α, где a, Vα — полуширина пластины, скорость набегающего потока (или движения пластины), угол атаки (угол между пластиной и потоком) соответственно. Сила Жуковского выражается через циркуляцию P = P = ρf |Γ|V, где ρf — плотность газа или жидкости. Эту задачу также можно решить численно на основе уравнений Навье–Стокса, описывающих вязкие течения.

На рис. 1 показаны векторное поле скорости (стрелочки) и линии равной завихренности потока. Рассчитанная сила имеет довольно близкое значение к полученному по формуле Жуковского. Если для этого течения вычислить циркуляцию скорости, то получим следующую картину (рис. 2).

Этот рисунок демонстрирует, что циркуляция на пластине равна нулю, потому что при расчете используется физическое по смыслу условие прилипания вязкой жидкости к твердой поверхности. По мере удаления от поверхности абсолютная величина циркуляции растет и достигает максимального по модулю отрицательного значения (светлая полоса на рисунке). По мере удаления от поверхности циркуляция стремится к нулю для невозмущенной среды. Максимальное по модулю значение Γ для a = 0.1 равно 0.24 (по формуле Жуковского — 0.21). Возможность использования для вычисления сил и момента сопротивления циркуляции и обусловила большое количество исследований с применением феноменологических моделей.

Теперь, согласно Максвеллу, рассмотрим падение бумажной карточки шириной полдюйма (13 мм). Параметры процесса падения находились численно из совместного решения уравнений Навье–Стокса и уравнений движения пластины. Как и писал Максвелл, возможны режимы колебательного движения (рис. 3) и вращательного (рис. 4).

В первом варианте после отклонения от места старта пластина выходит на периодический режим колебаний с двухвихревой структурой. На рис. 3 показаны линии равной завихреннос-ти. На краях пластины генерируются вихри. Вихри отрываются, диффундируют (размазываются) и образуются снова.

Во втором случае после одного периода колебаний бумажная карточка начинает вращаться против часовой стрелки и движется по траектории под углом примерно 35–40 градусов. Поле завихренности в режиме авторотации пластины приведено на рис. 5.

На рис. 4, 5 просматривается быстро меняющаяся во времени структура течения. На рис. 4 показаны вектор силы, действующей на пластину при движении, и точка приложения этой силы. Картина получается довольно динамичная. Расстояние от центра масс пластины до точки приложения силы сопротивления более подробно показано на рис. 6.

Точка приложения силы сопротивления определяет величину ее момента, и эта точка «гуляет» по всей ширине пластины. Возникающий момент поворачивает пластину и определяет угловую скорость вращения. Для сравнения на рис. 7 приведено положение этой точки для движения воздушного змея.

Следует пояснить, что движение змея начинается из состояния покоя с постоянным ускорением. При t = 0.1 ускорение убирается, и пластина далее движется с постоянной скоростью. После выхода на движение с постоянной скоростью начинается нестационарный срыв вихрей (дорожка Кармана). Сила сопротивления становится периодической, и периодическим становится перемещение точки ее приложения. Среднее ее значение равно примерно 0.35. Формула Жуковского дает значение 0.5. Из сравнения двух вариантов движения пластины (в режиме воздушного змея движение поступательное, а в режиме падения — движение с колебанием и вращением) видна принципиальная разница: существенно нестационарная картина при падении пластины. Для движения воздушного змея характерна некоторая нестационарность, но она осредняется во времени. Если решать стационарные уравнения гидродинамики, то получим эти же осредненные характеристики. В процессе же падения идет нестационарное взаимодействие окружающей среды и пластины. Реакция на контур движущейся пластины определяется вязкой составляющей силы сопротивления и интегралом давления по контуру. Причем вклад от давления является определяющим. Поэтому изменение положения пластины изменяет распределение давления, и, соответственно, наоборот. Распределение давления по поверхности меняется и при отрыве вихрей от пластинки при ее движении. Учет данного взаимодействия и позволяет количественно описать процесс падения пластинки и режимы движения.

По той причине, что уравнения Навье–Стокса и уравнения движения пластины связаны через давление и кинематические параметры, совместное их решение сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Тем не менее в последнее время появились работы, в которых представленная задача решается [Andersen A., Pesavento U., Wang Z. J. Unsteady aerodynamics of fluttering and tumbling plates // J. Fluid Mech., vol. 541, 2005, pp. 65–90. Kolomenskiy D., Schneider K. Numerical simulations of falling leaves using a pseudo-spectral method with volume penalization // Theor. Comput. Fluid Dyn. September 2009.]. Имеющиеся экспериментальные данные о падении пластин в разных средах [Andersen A., Pesavento U., Wang Z.J. Unsteady aerodynamics of fluttering and tumbling plates // J. Fluid Mech., vol. 541, 2005, pp. 65–90. Belmonte A., Eisenberg H. and Moses E. From flutter to tumble: Inertial drag and froude similarity in falling paper // Phys. Rev. Lett. Vol. 81, No 2, .July 1998, pp. 345–348. Mahadevan L., Ryu W.S. & Samuel A.D.T. Tumbling cards // Phys. Fluids Lett. Vol. 11, No 1, 1998, pp. 1–3.] позволяют сделать проверку использующихся численных методов. Еще более сложной в вычислительном плане является задача о падении дисков и пластин конечной длины. Без сомнения, такие работы ведутся и также позволят установить природу такого простого явления, как падение тел в сопротивляющихся средах.

В. А. Тененев, д. ф.-м. н., профессор

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...

Оставить комментарий:

CAPTCHA image

Статьи из рубрики: Популярно о науке

И все-таки она отрывается!

disk1

Каждый хотя бы раз пытался запустить с вращением монету. Каждый был зачарован тем, как она крутится, наращивая звуковые колебания, а затем долго и неохотно падает. Машинально мы запускаем ее вновь и вновь. Наблюдать за этим процессом можно так же бесконечно, как за водой и огнем. Ученых в этом деле волнует не красота происходящего, а сугубо практические вещи: отрывается ли монета в момент остановки от поверхности?

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Комментарии: 1 Подробнее

Леденящая тема

Рис. 2. Лекция ведущего ученого проекта Жёна Жузеля «Климат Земли. Прошлое, настоящее и будущее» для сотрудников, молодых ученых, аспирантов и студентов ИЕН и ВШЭМ УрФУ

В ноябре 2011 года в Институте естественных наук Уральского федерального университета в рамках проекта Минобрнауки России по привлечению ведущих ученых в российские вузы была организована лаборатория физики климата и окружающей среды, с тем чтобы понять климат прошлого и настоящего и предсказать климат будущего». Благодаря выделенным деньгам удастся организовать работу на самом высоком уровне, но в тот момент, когда все будет готово для свершения открытий, встанет вопрос о его продлении. Что будет с актуальными наработками? А между тем климатическая картина мира стремительно меняется, ставя под угрозу существование человечества.

Вячеслав Иосифович Захаров, профессор, д. ф.-м. н., Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия
Владимир Васильевич Васин, чл-корр. РАН, профессор, д. ф.-м. н., Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Комментарии: 1 Подробнее

Роботы-шары: новая конструкция мобильных роботов

robot12

Ученые постоянно ищут новые решения при разработке современных роботов. Поиск идет как в области создания новых методов управления роботами, включая, например, ультрасовременные методы Искусственного Интеллекта, так и в области реализации новых средств и форм движения роботов. В этих поисках рождаются новые нетрадиционные способы движения мобильных аппаратов, которые зачастую открывают и новые, недоступные ранее, возможности робота, оснащенного такими нетрадиционными движителями.

В. Е. Павловский, В. В. Павловский, Е. В. Павловский, Г. П. Терехов

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Комментарии: 1 Подробнее

Секреты динамики кельтского камня

Рис. 2. Геометрическая модель кельтского камня

При исследовании мест захоронений древних кельтов  археологами были обнаружены своеобразные артефакты — округлые камни, которые использовались кельтами в быту в качестве орудий труда («тесал»), а также, по-видимому, в религиозных целях. Проводя эксперименты над обнаруженными артефактами, ученые обратили внимание на их необычные динамические свойства. Например, способность менять направление вращения на противоположное (явление реверса). Истории исследований и новым результатам (в частности, с привлечением так называемой неголономной модели) посвящена данная обзорная статья.

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Комментарии: 7 Подробнее

Трение: увлекательно о фундаментальном

Лабораторный стенд для исследования эффектов трения

Одной из задач, поставленных перед Лабораторией нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения УдГУ, является исследование различных эффектов движения механических систем. Эффекты могут быть инициированы различными внутренними и внешними взаимодействиями, но наиболее интересны, конечно, законы и парадоксы, вызванные фундаментальными силами. Данная научно-популярная статья посвящена историческому очерку и обзору работы Лаборатории по исследованию эффектов, связанных с силой трения.

Надежда Ердакова

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Подробнее