№1 (14) 2014

Актуальное

Программный комплекс «Компьютерная динамика: Хаос»

В настоящее время в лаборатории «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения» Института компьютерных исследований УдГУ ведется разработка уникального программного комплекса, предназначенного для исследования широкого класса динамических систем. Название программного комплекса «Компьютерная динамика: Хаос» состоит из двух частей. Первая часть отражает тот факт, что динамика исследуемых систем просчитывается численно, с использованием компьютера. Таинственное слово «Хаос» во второй части названия несет в себе глубокий смысл. Ведь именно из-за хаоса, тесно связанного с неинтегрируемостью, аналитический, качественный анализ систем не представляется возможным, и возникает необходимость в численном исследовании. Кроме того, программный комплекс обладает большим объемом функциональности, позволяющей исследовать хаотическую динамику в различных системах.

О динамических системах и хаосе

Большинство явлений и процессов в реальном мире (по крайней мере, с известной степенью точности) могут быть описаны с помощью динамической системы. Абстрагируясь от конкретной физической природы этих явлений и процессов, о них можно говорить как о динамических системах, если для них можно выбрать некий набор величин (фазовых переменных), характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени определяются из исходного набора по определенному правилу, называемому оператором эволюции системы. Оператор эволюции может задаваться различными способами, например с помощью дифференциальных уравнений либо с помощью дискретных отображений.

Так, например, качание маятника, подвязанного за нить, может быть описано с помощью двух величин, характеризующих угол отклонения маятника от вертикали и скорость его вращения. В таком случае состояние системы определяется двумя фазовыми переменным. Используя второй закон Ньютона, легко получить оператор эволюции, который в данном случае будет определяться с помощью системы из двух (по количеству фазовых перемененных) обыкновенных дифференциальных уравнений. Если мы к первому маятнику присоединим второй, то получим двухстепенной маятник, состояние которого уже описывается с помощью четырех фазовых переменных (2 угла, 2 скорости), а оператор эволюции, соответственно, с помощью четырех дифференциальных уравнений.

С другой стороны, многие динамические системы задаются с помощью дискретных отображений. Например, закон развития популяции при условии некоего сдерживающего фактора может быть описан, в некотором приближении, с помощью одномерного логистического отображения, в котором состояние задается с помощью фазовой переменной, отвечающей за размер популяции. Если учесть однократное запаздывание, получим состояние, задаваемое двумя фазовыми переменными, а оператор эволюции будет задаваться двумерным дискретным отображением.

Отметим, что динамика многих потоковых систем также сводится к анализу отображений, при условии, если нас интересует состояние системы через период некоторой фазовой переменной. Сконструированное таким образом отображение на порядок ниже исходной потоковой системы и называются отображением Пуанкаре. Например, если рассматривать состояние двухстепенного маятника при условии фиксированного отклонения первого маятника от вертикали, мы получим динамическую систему, определяемую с помощью трехмерного отображения Пуанкаре.

Программный комплекс «Компьютерная динамика: Хаос» предоставляет возможности исследования динамических систем, описываемых как с помощью систем дифференциальных уравнений, так и задаваемых с помощью дискретных отображений. Также в рамках комплекса предоставлена возможность исследования систем дифференциальных уравнений через период с помощью отображений Пуанкаре (двумерных и трехмерных). С одной стороны, задачи первого и третьего класса могут быть объединены в один общий класс, так как их исследование сводится к анализу отображения (либо простого точечного, либо Пуанкаре). С другой стороны, задачи второго и третьего класса объединяет тот факт, что для их исследования применяются методы численного интегрирования, так как отображение Пуанкаре для последних строится также на основе методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Традиционно динамические системы можно разбить на два класса: консервативные и диссипативные. В физике термин «консервативные» означает обеспечивающие сохранение энергии, что, в частности, относится к системам классической механики. При наличии трения приходим к диссипативным системам, где механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается, переходя в тепло. Поясним данную классификацию, на примере эволюции фазового объема — облака изображающих точек, образованного множеством различных состояний динамической системы. В процессе эволюции во времени (согласно оператору эволюции системы) облако изображающих точек меняет форму и размер. Консервативные динамические системы обладают свойством сохранения фазового объема. Для них облако изображающих точек можно представлять как состоящее из несжимаемой жидкости. В случае диссипативных динамических систем его надо представлять как сжимаемую субстанцию, наподобие пара, имеющего возможность конденсироваться с существенным уменьшением занимаемого объема при оседании на некоторое подмножество в фазовом пространстве, называемое аттрактором. Простейшими примерами аттракторов служат состояние равновесия (для потоковой системы) и неподвижная точка (для различного рода отображений). Для более сложных систем аттракторами могут быть предельные циклы, отвечающие автоколебаниям, а также инвариантные торы.

Замечательным достижением теории динамических систем стало открытие хаотической динамики. На первый взгляд возникновение хаоса кажется несовместимым с понятием динамической системы, подразумевающей четкое однозначное предсказание конечного состояния по исходному. На самом деле противоречий здесь нет. Для хаотической динамики сколь угодно малая неточность в задании начальных условий системы экспоненциально нарастает со временем, в результате чего предсказуемость конечного состояния на большом интервале времени не представляется возможной. Хаотические режимы характеризуются нерегулярными изменениями фазовых переменных во времени. В фазовом пространстве консервативных динамических систем им отвечает консервативный хаос, а в фазовом пространстве диссипативных — странные аттракторы — хаотические притягивающие множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы) [1].

С помощью программного комплекса хаоса были обнаружены и исследованы различные типы странных аттракторов для различных динамических систем. Приведем несколько наиболее интересных примеров.

Странные аттракторы

Одним из наиболее интересных открытий, сделанных с помощью программного комплекса, является обнаружение аттрактора типа Лоренца в системе, описывающей движение кельтского камня [2]. (Ознакомиться с исследованиями динамики кельтского камня можно также по нашей работе [3].) Аттрактор Лоренца является «настоящим» (псевдогиперболическим) странным аттрактором. Существует множество статей, посвященных исследованию сценариев рождения и свойств этого феномена диссипативной динамики. Однако ранее не удавалось найти такого аттрактора в реальных физических системах, несмотря на то что сценарий рождения аттрактора Лоренца является одним из известных сценариев развития диссипативной динамики [4]. Таким образом, неголономная модель кельтского камня является первой системой из приложений, в которой был обнаружен аттрактор типа Лоренца. На рисунке 1 изображен обнаруженный аттрактор Лоренца, аттрактор Лоренца в модельной потоковой системе и поведение точки контакта камня при движении по обнаруженному аттрактору.

Рисунок 1. (a) Аттрактор Лоренца в модели кельтского камня. (b) Аттрактор Лоренца в модельной потоковой системе. (c) Поведение точки контакта камня при движении по аттрактору Лоренца

Рисунок 1. (a) Аттрактор Лоренца в модели кельтского камня. (b) Аттрактор Лоренца в модельной потоковой системе. (c) Поведение точки контакта камня при движении по аттрактору Лоренца

Помимо аттрактора Лоренца, в неголономной модели кельтского камня недавно был обнаружен другой известный странный аттрактор — аттрактор Фейгенбаума [5]. Сценарий Фейгенбаума является одним из универсальных сценариев возникновения хаотической динамики как для консервативных, так и для диссипативных динамических систем и заключается в бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. В 1978 году М. Фейгенбаум установил, что точки бифуркаций удвоения накапливаются к определенному пределу — универсальной константе — порогу возникновения хаоса по закону геометрической прогрессии. Для консервативных систем сценарий Фейгенбаума приводит к рождению консервативного (гамильтонова) хаоса, а универсальная константа равняется 8.721. В случае диссипативных систем константа равняется 4.669, а в результате каскада бифуркаций удвоения рождается аттрактор Фейгенбаума. С помощью программного комплекса можно легко оценить универсальную константу для каскада бифуркаций удвоения. На рисунке 2 изображены аттрактор Фейгенбаума, обнаруженный в неголономной модели кельтского камня, а также след точки контакта камня при движение по аттрактору Фейгенбаума.

Рисунок 2. (a) Аттрактор Фейгенбаума в модели кельтского камня. (b) Увеличенный фрагмент проекции аттрактора Фейгенбаума. (с) Поведение точки контакта камня при движении по аттрактору Фейгенбаума

Рисунок 2. (a) Аттрактор Фейгенбаума в модели кельтского камня. (b) Увеличенный фрагмент проекции аттрактора Фейгенбаума. (с) Поведение точки контакта камня при движении по аттрактору Фейгенбаума

Совсем недавно в системе дифференциальных уравнений, описывающих движение неуравновешенного (со смещенным центром масс) шара по плоскости без проскальзывания, удалось обнаружить восьмерочный аттрактор [6]. Как и аттрактор Лоренца, восьмерочный аттрактор является «настоящим» странным аттрактором, а сценарий его возникновения хорошо изучен. Тем не менее ранее не удавалось обнаружить восьмерочный аттрактор в реальных физических системах.

Рисунок 3. (a) Восьмерочный аттрактор в модели неуравновешенного шара на плоскости. (b) Поведение точки контакта шара при движении по восьмерочному аттрактору

Рисунок 3. (a) Восьмерочный аттрактор в модели неуравновешенного шара на плоскости. (b) Поведение точки контакта шара при движении по восьмерочному аттрактору

Программный комплекс «Компьютерная динамика: Хаос» предоставляет возможности поиска и комплексного исследования странных аттракторов. С помощью него можно проследить последовательность бифуркаций, приводящих к рождению странных аттракторов, посчитать спектр показателей Ляпунова, отвечающих за сжатие/растяжение траекторий, построить сеператрисы (инвариантные многообразия) седловых точек, отвечающие в том числе за развитие хаотической динамики.

Разработанный программный комплекс позволяет проводить научные исследования высокого уровня в различных областях, связанных с исследованиями динамических систем. Использование разработанного комплекса в учебном процессе вузов (например, во время лабораторных работ) позволит существенно упростить и ускорить усвоение таких естественно-научных дисциплин, как теоретическая механика, теория управления, математическое моделирование, динамика неголономных систем, небесная механика, гидродинамика и др. В частности, применение данного комплекса на лекционных демонстрациях позволит сделать доступными для непосредственного наблюдения многие феномены регулярной и хаотической динамики, такие как хаос и странные аттракторы, аналитическое исследование которых не представляется возможным.

Еще одним из возможных направлений применения программного комплекса является использование его для реальных исследований в различных НИИ и лабораториях. С его помощью уже удалось провести исследования многих систем из различных областей математики, физики и получить новые интересные результаты, регулярно публикуемые в ведущих российских и зарубежных научных журналах.

Разработанный программный комплекс оснащен подсистемой ввода пользовательских задач, с помощью которой исследователь, даже поверхностно знакомый с теорией динамических систем и методами программирования, может создать модуль новой задачи. При этом для исследования созданной задачи могут быть применены численные методы, реализованные в программном комплексе. Программный комплекс «Компьютерная динамика: Хаос», оснащенный подсистемой ввода пользовательских задач является удобным и незаменимым инструментом исследования динамических систем различного типа и различной сложности. Простота ввода новых задач в сочетании с наглядностью получаемых результатов позволяет существенно продвинуться в понимании динамики исследуемой системы без акцента на технические трудности.

Литература

[1] Кузнецов С.П. Динамический хаос // Физматлит, 2006, с. 356.
[2] Гонченко А.С., Гонченко С.В. О существовании аттракторов лоренцевского типа в неголономной модели «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 9, № 1, с. 77–89.
[3] Гонченко А.С., Казаков А.О. Секреты динамики кельтского камня // Научное обозрение, 2013, т. 12, с. 14–17.
[4] Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 3–28.
[5] Кузнецов С.П., Жалнин А.Ю., Сатаев И.Р., Седова Ю.В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 4, с. 735–762.
[6] Gonchenko A., Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. SIMPLE SCENARIOS OF ONSET OF CHAOS IN THREE-DIMENSIONAL MAPS // Bifurcation of Chaos, 2014, to appear.

 

Над разработкой программного комплекса трудятся:
Д.ф.-м.н. Килин Александр Александрович, декан физико-энергетического факультета УдГУ (aka@rcd.ru)
К.ф.-м.н Казаков Алексей Олегович, м.н.с. ННГУ (kazakovdz@yandex.ru),
Козлов Александр Дмитриевич, ООО «Аргус», Нижний Новогород,
Чигарев Владимир Генадьевич, компания «Мера», Нижний Новгород.
Демонстрационную версию программного комплекса можно скачать с сайта лаборатории «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения», УдГУ. На этом же сайте в разделе обратная связь можно задать любой вопрос, в том числе о приобретении программного комплекса «Компьютерная динамика: Хаос».

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...

Оставить комментарий:

CAPTCHA image

Статьи из рубрики: Актуальное

Временно свободные средства Российского научного фонда предлагают инвестировать в различные ценные бумаги

© Сергей Семененко

Минобрнауки подготовило проект постановления правительства «Об инвестировании временно свободных средств Российского научного фонда (РНФ)». Проект устанавливает перечень разрешенных активов, порядок и условия инвестирования временно свободных средств РНФ и порядок совершения сделок по инвестированию временно свободных средств фонда. Закон о Российском научном фонде принят Госдумой 25 октября 2013 года. Фонд будет предоставлять гранты для проведения фундаментальных исследований, в ближайшие три года он получит из бюджета почти 48 млрд рублей.

Источник: Финмаркет

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Подробнее

Где российским ученым получить средства на свои исследования?

фонды

Редакция НО, как и все читатели НО, следит за реформированием системы грантовой поддержки российской науки. Появление в этой системе нового научного фонда уже наделало много шума и погрузило страну в очередную бумажную волокиту в надежде заполучить заветное финансирование.

Цель данной статьи — систематизировать информацию по «новым» и «старым» государственным и негосударственным научным фондам, созданным во благо российской науки, техники и образования, более подробно останавливаясь на вновь открытых. Здесь же приведем цитаты некоторых известных политиков и ученых по теме. Надеемся, читатель найдет материал полезным.

Также мы попросили прокомментировать сложившуюся ситуацию наших экспертов профессора МГУ, члена совета по науке при Минобрнауки Владимира Богачева и профессора Университета Лафборо (Англия) Алексея Болсинова.

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Подробнее

Спасите РАН

logo

С большой озабоченностью мировая научная общественность восприняла сообщения о внесении в Государственную Думу РФ проекта нового федерального закона, направленного на реформирование российской науки и Российской академии наук.

Хотите присоединиться к научному сообществу? Подпишите открытое письмо Президенту!

Опубликовать в Facebook
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Яндекс
Оценить статью: 1 балл2 балла3 балла4 балла5 баллов
Загрузка ... Загрузка ...
Подробнее